Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Вариант 2. 2. Дано: ∠AB : ∠AC = 5 : 3 (рис. 8.179). Найти: ∠BOC, ∠ABC.Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: Если ∠AB и ∠AC — это центральные углы, то они равны соответствующим дугам. Вписанный угол ∠ABC равен половине дуги AC.

Пошаговое решение:

  1. Предположим, что ∠AB и ∠AC в условии — это центральные углы, равные соответствующим дугам.
  2. Пусть ∠AOB = 5x и ∠AOC = 3x.
  3. Так как ∠AOB и ∠AOC — центральные углы, то они равны градусным мерам дуг AB и AC соответственно.
  4. Дуга AB = 5x, Дуга AC = 3x.
  5. Угол ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Поэтому ∠ABC = Дуга AC / 2 = 3x / 2.
  6. Угол ∠BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Дуга BC = 360° - Дуга AB - Дуга AC = 360° - 5x - 3x = 360° - 8x.
  7. ∠BOC = Дуга BC = 360° - 8x.
  8. В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
  9. ∠BAC — это угол, который мы не знаем.
  10. Если на рисунке 8.179 ∠A = 60°, то ∠BAC = 60°.
  11. Тогда 5x + 3x + 60° = 180° (если AOB и AOC части ∠BOC).
  12. 8x = 120°, x = 15°.
  13. ∠AOB = 5 * 15° = 75°.
  14. ∠AOC = 3 * 15° = 45°.
  15. ∠ABC = ∠AOC / 2 = 45° / 2 = 22.5°.
  16. ∠BOC = 360° - 75° - 45° = 240°.
  17. Проверим: 75° + 45° + 240° = 360°.
  18. ∠BAC = 60°.
  19. ∠ABC = 22.5°.
  20. ∠BCA = ∠AOB / 2 = 75° / 2 = 37.5°.
  21. Сумма углов треугольника: 60° + 22.5° + 37.5° = 120°. Это не 180°.
  22. Предположим, что ∠BAC = 60° (как на рисунке 8.179).
  23. Угол ∠BAC является центральным углом, который равен дуге BC. То есть, Дуга BC = 60°.
  24. Тогда ∠BOC = 60°.
  25. Условие ∠AB : ∠AC = 5 : 3. Если это отношение центральных углов ∠AOB и ∠AOC.
  26. ∠AOB = 5x, ∠AOC = 3x.
  27. ∠AOB + ∠AOC + ∠BOC = 360°.
  28. 5x + 3x + 60° = 360°.
  29. 8x = 300°.
  30. x = 300° / 8 = 37.5°.
  31. ∠AOB = 5 * 37.5° = 187.5°.
  32. ∠AOC = 3 * 37.5° = 112.5°.
  33. ∠AOB + ∠AOC = 187.5° + 112.5° = 300°.
  34. ∠BAC = 60°.
  35. ∠ABC (вписанный, опирается на дугу AC) = ∠AOC / 2 = 112.5° / 2 = 56.25°.
  36. ∠BCA (вписанный, опирается на дугу AB) = ∠AOB / 2 = 187.5° / 2 = 93.75°.
  37. Сумма углов треугольника: 60° + 56.25° + 93.75° = 210°. Не 180°.
  38. В условии задачи ∠AB : ∠AC = 5 : 3. Вероятно, это отношение дуг AB и AC.
  39. Пусть Дуга AB = 5x, Дуга AC = 3x.
  40. Угол ∠BAC = 60° (из рис. 8.179). Этот угол является центральным углом, опирающимся на дугу BC.
  41. Тогда Дуга BC = 60°.
  42. Сумма дуг: Дуга AB + Дуга AC + Дуга BC = 360°.
  43. 5x + 3x + 60° = 360°.
  44. 8x = 300°.
  45. x = 300° / 8 = 37.5°.
  46. Дуга AB = 5 * 37.5° = 187.5°.
  47. Дуга AC = 3 * 37.5° = 112.5°.
  48. ∠BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. ∠BOC = Дуга BC = 60°.
  49. ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. ∠ABC = Дуга AC / 2 = 112.5° / 2 = 56.25°.
  50. Проверим: ∠BAC = 60°, ∠ABC = 56.25°, ∠BCA (опирается на дугу AB) = Дуга AB / 2 = 187.5° / 2 = 93.75°.
  51. Сумма углов: 60° + 56.25° + 93.75° = 210°. Это не 180°.
  52. В условии задачи, вероятно, ∠AB и ∠AC — это вписанные углы, опирающиеся на дуги.
  53. Если ∠ABC : ∠BAC = 5 : 3.
  54. Из рисунка 8.179: ∠BAC = 60°.
  55. Тогда ∠ABC : 60° = 5 : 3.
  56. ∠ABC = (5/3) * 60° = 100°.
  57. ∠BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC.
  58. Дуга AC = 2 * ∠ABC = 2 * 100° = 200°.
  59. Дуга AB = 2 * ∠BCA.
  60. ∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 60° - 100° = 20°.
  61. Дуга AB = 2 * ∠BCA = 2 * 20° = 40°.
  62. Сумма дуг: Дуга AB + Дуга AC + Дуга BC = 360°.
  63. 40° + 200° + Дуга BC = 360°.
  64. Дуга BC = 360° - 240° = 120°.
  65. ∠BOC = Дуга BC = 120°.
  66. Проверим: ∠BAC = 60°, ∠ABC = 100°, ∠BCA = 20°. Сумма 180°.
  67. В этом случае ∠BAC = 60°, ∠ABC = 100°, ∠BOC = 120°.
  68. Но в условии задачи ∠AB : ∠AC = 5 : 3.
  69. Если это отношение вписанных углов ∠ABC : ∠BAC = 5 : 3.
  70. ∠BAC = 60°.
  71. ∠ABC = (5/3) * 60° = 100°.
  72. ∠BOC — центральный угол.
  73. Если ∠BAC = 60°, то дуга BC = 2 * 60° = 120°.
  74. ∠BOC = 120°.
  75. ∠ABC = 100°.
  76. Проверим: ∠BAC = 60°, ∠ABC = 100°, ∠BCA = 180 - 60 - 100 = 20°.
  77. Дуга AC = 2 * ∠ABC = 2 * 100° = 200°.
  78. Дуга AB = 2 * ∠BCA = 2 * 20° = 40°.
  79. Сумма дуг: 120° + 200° + 40° = 360°.
  80. Отношение ∠AB : ∠AC = 40° : 200° = 1 : 5. Это не 5:3.
  81. Если ∠BAC = 60° (центральный угол, равен дуге BC).
  82. ∠BOC = 60°.
  83. Пусть ∠ABC = 5x, ∠BAC = 3x.
  84. ∠BAC = 60°. Тогда 3x = 60°, x = 20°.
  85. ∠ABC = 5 * 20° = 100°.
  86. ∠BCA = 180° - 60° - 100° = 20°.
  87. Дуга AC = 2 * ∠ABC = 2 * 100° = 200°.
  88. Дуга AB = 2 * ∠BCA = 2 * 20° = 40°.
  89. Дуга BC = 2 * ∠BAC = 2 * 60° = 120°.
  90. Сумма дуг: 200° + 40° + 120° = 360°.
  91. Отношение ∠AB : ∠AC = 40° : 200° = 1 : 5. Не 5 : 3.
  92. Смотрим на рисунок: ∠BAC = 60°.
  93. ∠BOC = 120° (тупой угол).
  94. ∠ABC = 60°.
  95. Если ∠BAC = 60°, то ∠BOC (центральный) = 120°.
  96. Условие: ∠AB : ∠AC = 5 : 3.
  97. Пусть Дуга AB = 5x, Дуга AC = 3x.
  98. Дуга BC = 120°.
  99. 5x + 3x + 120° = 360°.
  100. 8x = 240°.
  101. x = 30°.
  102. Дуга AB = 5 * 30° = 150°.
  103. Дуга AC = 3 * 30° = 90°.
  104. ∠ABC = Дуга AC / 2 = 90° / 2 = 45°.
  105. ∠BCA = Дуга AB / 2 = 150° / 2 = 75°.
  106. Проверим: ∠BAC = 60°, ∠ABC = 45°, ∠BCA = 75°. Сумма = 60 + 45 + 75 = 180°.
  107. В этом случае: ∠BOC = 120°, ∠ABC = 45°.
  108. Снова проверка отношения: Дуга AB = 150°, Дуга AC = 90°. Отношение 150 : 90 = 15 : 9 = 5 : 3.
  109. Это соответствует условию.

Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC = 45°