Вариант 2. 2. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, AC = 18 см. На сторонах AB, BC и AC соответственно отмечены точки M, P и O так, что углы AMO и CPO равны, AM = PC. Найдите длину отрезка OC.

1. Так как \(AB=BC\), углы при основании равны: \(\angle BAC=\angle ACB\). С учётом расположения точек \(M\), \(P\) и \(O\) получаем \(\angle MAO=\angle PCO\).

2. По условию \(\angle AMO=\angle CPO\) и \(AM=PC\). Значит, \(\triangle AMO=\triangle CPO\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, \(AO=CO\).

3. Точка \(O\) лежит на \(AC\), поэтому \(AC=AO+OC=2OC\). Отсюда \(OC=18:2=9\) см.

Ответ: \(OC=9\) см.