Вариант 2. 3. В треугольнике ABC AB = 8√2, AC = 18, ∠A = 45°. Найдите медианы треугольника.

Обозначим \(AB=c=8\sqrt2\), \(AC=b=18\). По теореме косинусов найдём третью сторону:

\(BC^2=(8\sqrt2)^2+18^2-2\cdot8\sqrt2\cdot18\cos45^\circ=128+324-288=164\), поэтому \(BC=2\sqrt{41}\).

Используем формулу медианы к стороне \(a\): \(m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\).

Медиана из \(A\), к стороне \(BC\): \(m_A=\frac12\sqrt{2\cdot18^2+2\cdot128-164}=\sqrt{185}\).

Медиана из \(B\), к стороне \(AC\): \(m_B=\frac12\sqrt{2\cdot128+2\cdot164-18^2}=\sqrt{65}\).

Медиана из \(C\), к стороне \(AB\): \(m_C=\frac12\sqrt{2\cdot18^2+2\cdot164-128}=2\sqrt{53}\).

Ответ: \(m_A=\sqrt{185},\ m_B=\sqrt{65},\ m_C=2\sqrt{53}\).