Вариант 2. 4. Диагонали ромба пересекаются в точке O и равны 18 см и 26 см. Найти периметр и радиус одного из получившихся треугольников, если один из углов, которые образует диагональ со стороной ромба, равен 60 градусов. Найти углы ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Получившийся прямоугольный треугольник имеет катеты 9 см и 13 см.

Сторона ромба равна \(\sqrt{9^2+13^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\) см, поэтому периметр ромба равен \(20\sqrt{10}\) см.

Указание об угле 60° несовместимо с диагоналями: в получившемся треугольнике тангенс угла между стороной и диагональю равен \(13/9\), а не \(\tan60°=\sqrt3\). Значит, ромба, удовлетворяющего всем данным одновременно, не существует. Если определить углы только по диагоналям, то половина острого угла равна \(\arctan(9/13)\). Острый угол ромба составляет примерно 69.4°, тупой — примерно 110.6°.

Слово «радиус» в условии не уточняет, о каком радиусе идёт речь. Если имеется в виду радиус вписанной в получившийся прямоугольный треугольник окружности, то \(r=(9+13-5\sqrt{10})/2\approx3.09\) см.

Ответ: данные об угле 60° противоречат диагоналям; по диагоналям периметр ромба равен \(20\sqrt{10}\) см, углы — примерно 69.4° и 110.6°. Радиус вписанной окружности получившегося треугольника — примерно 3.09 см.