Вариант №2. 5. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадка вершины пирамиды проектируется в точку, равноудалённую от всех сторон основания, то есть в центр вписанной окружности. Площадь основания по формуле Герона: \(S_{осн}=\sqrt{16\cdot6\cdot6\cdot4}=48\) см². Полупериметр равен \(16\) см, поэтому радиус вписанной окружности \(r=48/16=3\) см.

Для боковой грани высота, опущенная на сторону основания, проецируется на основание в отрезок длины \(r\). Угол наклона равен 45°, поэтому высота боковой грани \(l=r/\cos45^\circ=3\sqrt2\) см.

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=\frac12(10+10+12)\cdot3\sqrt2=48\sqrt2\) см².

Ответ: \(48\sqrt2\) см².