Вариант 2. 5. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что ∠AOB = 80°, AC = 14 см, BD = 10 см. Найдите периметр параллелограмма.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(OA=OC=7\) см, \(OB=OD=5\) см. Угол между лучами \(OA\) и \(OB\) равен \(80^\circ\).

По теореме косинусов стороны параллелограмма равны длинам векторов \(OA+OB\) и \(OA-OB\):

\(a=\sqrt{7^2+5^2+2\cdot7\cdot5\cos80^\circ}=\sqrt{74+70\cos80^\circ}\).

\(b=\sqrt{7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cos80^\circ}=\sqrt{74-70\cos80^\circ}\).

Тогда \(P=2(a+b)=2\bigl(\sqrt{74+70\cos80^\circ}+\sqrt{74-70\cos80^\circ}\bigr)\approx34.3\) см.

Ответ: примерно 34,3 см.