Вариант 2. Хорда основания цилиндра равна 12 см и удалена от центра этого основания на 8 см. Отрезок, соединяющий центр другого основания цилиндра с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем цилиндра.

Перпендикуляр из центра основания к хорде делит её пополам. Радиус основания находим из прямоугольного треугольника: \(R=\sqrt{6^2+8^2}=10\) см.

Проекция отрезка, соединяющего центр другого основания с серединой хорды, на плоскость основания — перпендикуляр от центра основания к хорде, длиной 8 см. При угле 45° высота цилиндра равна длине проекции: \(h=8\) см.

Следовательно, \(V=\pi R^2h=\pi\cdot10^2\cdot8=800\pi\) см³.

Ответ: \(800\pi\) см³.