Вариант 2. Решите треугольник: а) a = 9; b = 8; ∠B = 56°; б) ∠C = 130°; ∠B = 25°; c = 10; в) a = 5; b = 7; c = 9.

Используем теорему синусов для известных стороны и противолежащего угла; для трёх известных сторон — теорему косинусов.

а) \(\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{9\sin56^\circ}{8}\). Получаются два допустимых угла: \(A\approx68.7^\circ\) или \(A\approx111.3^\circ\). Поэтому соответственно \(C\approx55.3^\circ\) или \(C\approx12.7^\circ\). По теореме синусов \(c=\frac{8\sin C}{\sin56^\circ}\), откуда \(c\approx7.8\) или \(c\approx1.9\).

б) \(A=180^\circ-130^\circ-25^\circ=25^\circ\). Углы \(A=B\), следовательно, \(a=b\). По теореме синусов \(a=b=\frac{10\sin25^\circ}{\sin130^\circ}\approx5.6\).

в) По теореме косинусов \(\cos A=\frac{7^2+9^2-5^2}{2\cdot7\cdot9}=\frac56\), поэтому \(A\approx33.6^\circ\). Далее \(\cos B=\frac{5^2+9^2-7^2}{2\cdot5\cdot9}=\frac{19}{30}\), поэтому \(B\approx50.7^\circ\), а \(C\approx95.8^\circ\).

Ответ: а) два решения: \((A,C,c)\approx(68.7^\circ,55.3^\circ,7.8)\) или \((111.3^\circ,12.7^\circ,1.9)\); б) \(A=25^\circ, a=b\approx5.6\); в) \(A\approx33.6^\circ, B\approx50.7^\circ, C\approx95.8^\circ\).