Вариант 3. 2. Докажите, что трапеция равнобедренная, если диагонали трапеции равны.

Пусть \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AD\parallel BC\), причём диагонали равны: \(AC=BD\). Опустим перпендикуляры \(BE\) и \(CF\) из концов основания \(BC\) на прямую \(AD\).

1. Четырёхугольник \(BECF\) — прямоугольник, поэтому \(EF=BC\) и \(BE=CF\).
2. Так как \(AD\parallel BC\), расстояния между этими параллельными прямыми равны, а проекции отрезка \(BC\) на \(AD\) равны: \(AE=DF\). Это следует также из равенства противоположных сторон прямоугольника и общей длины оснований на прямой \(AD\).
3. В прямоугольных треугольниках \(ABE\) и \(DCF\) гипотенузы равны: \(AB^2=AE^2+BE^2\), \(CD^2=DF^2+CF^2\). Поскольку \(AE=DF\) и \(BE=CF\), получаем \(AB=CD\).

Боковые стороны трапеции равны, следовательно, трапеция равнобедренная.

Что и требовалось доказать.