Вариант 4. 2. Докажите, что трапеция равнобедренная, если углы при основании равны.

Пусть \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AD\parallel BC\), и углы при основании \(AD\) равны: \(\angle DAB=\angle CDA\). Опустим перпендикуляры \(BE\) и \(CF\) из точек \(B\) и \(C\) на прямую \(AD\).

1. Треугольники \(ABE\) и \(DCF\) прямоугольные, поскольку \(BE\perp AD\) и \(CF\perp AD\).
2. Так как \(AD\parallel BC\), высоты между основаниями равны: \(BE=CF\).
3. Острые углы при основаниях этих прямоугольных треугольников равны по условию. Следовательно, треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны по стороне и прилежащим к ней углам (или по катету и острому углу).
4. Из равенства треугольников следует \(AB=CD\). Значит, боковые стороны трапеции равны, и трапеция равнобедренная.

Что и требовалось доказать.