Вариант 3. 5. Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Обозначим нижний угол трапеции через α, верхний — через 180° − α, а угол между основанием и диагональю — через x. Тогда углы одного треугольника равны x, α и 180° − α − x; углы другого — α − x, x и 180° − α.

Для обоих треугольников быть равнобедренными возможны, в частности, следующие согласованные равенства углов: x = α/2 и α = 180° − α − x. Подстановка даёт 2.5α = 180°, поэтому α = 72°. Верхний угол равен 108°.

Если трапеция по принятому в учебнике определению должна иметь ровно одну пару параллельных сторон, прямоугольный случай не подходит.

Ответ: 72° и 108° (по два угла каждого вида).

Если в определении трапеции допускаются параллелограммы, есть также квадрат: его диагональ делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, и все углы равны 90°.