Вариант 3. 5. В ромбе ABCD проведена высота BK к стороне AD. Известно, что AK = 3 см, а угол ABK равен 30°. Найдите длину диагонали AC.

Так как BK — высота к AD, то BK ⟂ AD, поэтому треугольник ABK прямоугольный, а ∠AKB = 90°.

В треугольнике ABK угол A равен 180° − 90° − 30° = 60°. Следовательно, треугольник ABK — прямоугольный треугольник 30°–60°–90°. Сторона AK, лежащая напротив угла 30°, равна 3 см, поэтому гипотенуза AB = 6 см.

Сторона ромба AD = AB = 6 см. Диагональ AC делит угол A ромба пополам, значит ∠CAD = 30°. В треугольнике ACD стороны AD и CD равны 6 см, а угол между AD и диагональю AC равен 30°. Эквивалентно можно рассмотреть прямоугольный треугольник ABK: BK = 3√3 см; однако для AC применим теорему косинусов в △ACD, где ∠ADC = 120°:

AC² = 6² + 6² − 2 · 6 · 6 · cos 120° = 36 + 36 + 36 = 108.

Ответ: AC = 6√3 см.