Вариант 4, 1°. В трапеции ABCD на большем основании AD взята точка E. Известно, что ∠ABC = 130°, ∠BCE = 50°. Докажите, что отрезки AC и BE имеют общую середину.

Поскольку AD и BC — основания трапеции, AD ∥ BC. Точка E лежит на AD, значит AE ∥ BC.

1. ∠ABC = 130°, поэтому острый угол между прямыми AB и BC равен 50°.
2. По условию ∠BCE = 50°, то есть угол между CB и CE равен 50°. С учётом направления лучей получаем AB ∥ CE.
3. В четырёхугольнике ABCE обе пары противоположных сторон параллельны: AB ∥ CE и AE ∥ BC. Следовательно, ABCE — параллелограмм.
4. Диагонали параллелограмма AC и BE делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: AC и BE имеют общую середину — точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCE.