Вариант 4. 5. Определите значения \(a\), при которых уравнение \(4x^3+4x^2+ax=0\) имеет два корня. Найдите эти корни.

Вынесем \(x\) за скобки: \(x(4x^2+4x+a)=0\). Один корень всегда равен \(0\). Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, возможны два случая:

1. Квадратный множитель имеет двойной корень: его дискриминант равен нулю. \(D=16-16a=0\), откуда \(a=1\). Тогда \(4x^2+4x+1=(2x+1)^2\), и корни уравнения: \(0\) и \(-\frac12\).
2. Квадратный множитель имеет корень \(0\), то есть \(a=0\). Тогда уравнение становится \(4x^2(x+1)=0\), и его различные корни: \(0\) и \(-1\).

Ответ: \(a=0\): корни \(0,-1\); \(a=1\): корни \(0,-\frac12\).