Вариант 5. 1. Сократите дробь: а) (a−1)(a+1)/(a⁴−2a²+1); б) (4y²−1)/(1+8y³); в) (x²−y²+2x−2y)/(x+y+2).

а) Разложим знаменатель: \(a^4-2a^2+1=(a^2-1)^2=(a-1)^2(a+1)^2\). Тогда \(\frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2}=\frac{1}{(a-1)(a+1)}\), где \(a\ne\pm1\).

б) Разложим числитель и знаменатель на множители: \(4y^2-1=(2y-1)(2y+1)\), \(1+8y^3=(2y+1)(4y^2-2y+1)\). Сокращаем общий множитель \(2y+1\): \(\frac{2y-1}{4y^2-2y+1}\), где \(y\ne-\frac12\).

в) Сгруппируем слагаемые числителя: \(x^2-y^2+2x-2y=(x-y)(x+y)+2(x-y)=(x-y)(x+y+2)\). Сокращаем общий множитель: \(x-y\), где \(x+y+2\ne0\).

Ответ: а) \(\frac{1}{(a-1)(a+1)}\); б) \(\frac{2y-1}{4y^2-2y+1}\); в) \(x-y\).