Вариант 6. 3. Докажите, что при всех допустимых значениях a выражение (2a+1)/(a³−1) + a/(a²+a+1) + 1/(1−a) тождественно равно нулю.

Разложим разность кубов: \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\), и преобразуем \(\frac{1}{1-a}=-\frac{1}{a-1}\). Обозначим \(Q=a^2+a+1\). Для допустимых значений \(a\ne1\):

\(\frac{2a+1}{(a-1)Q}+\frac{a(a-1)}{(a-1)Q}-\frac{Q}{(a-1)Q}=\frac{2a+1+a^2-a-(a^2+a+1)}{(a-1)Q}=\frac{0}{(a-1)Q}=0.\)

Следовательно, выражение равно нулю при всех допустимых значениях a.