Вариант 5. 3. Докажите, что при всех допустимых значениях a выражение 4(a+1)/(a³−8) + a/(a²+2a+4) + 1/(2−a) тождественно равно нулю.

Разложим разность кубов: \(a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)\), а также учтём, что \(\frac{1}{2-a}=-\frac{1}{a-2}\). Обозначим \(Q=a^2+2a+4\). При допустимых значениях \(a\ne2\):

\(\frac{4(a+1)}{(a-2)Q}+\frac{a(a-2)}{(a-2)Q}-\frac{Q}{(a-2)Q}=\frac{4a+4+a^2-2a-(a^2+2a+4)}{(a-2)Q}=\frac{0}{(a-2)Q}=0.\)

Следовательно, выражение равно нулю при всех допустимых значениях a.