Вариант А1. 3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен α, а катет, прилежащий к данному углу, равен a. Выразите через a и α биссектрису прямого угла треугольника.

Обозначим катет, противолежащий углу α, через \(b\). По определению тангенса \(b=a\tan\alpha\).

Длина биссектрисы прямого угла, делящего стороны длины a и b, равна \(\frac{\sqrt2 ab}{a+b}\). Подставим \(b=a\tan\alpha\):

\(\frac{\sqrt2 a\cdot a\tan\alpha}{a+a\tan\alpha}=\frac{\sqrt2 a\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\frac{\sqrt2 a\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt2 a\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\).