Вариант А2. 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а один из острых углов равен β. Выразите через c и β биссектрису второго острого угла.

Второй острый угол равен \(90°-\beta\). Катеты прямоугольного треугольника имеют длины \(c\sin\beta\) и \(c\cos\beta\).

Длина биссектрисы угла между этими катетами равна \(\frac{\sqrt2 xy}{x+y}\), где \(x=c\sin\beta\), \(y=c\cos\beta\). Подставим длины катетов:

\(l=\frac{\sqrt2(c\sin\beta)(c\cos\beta)}{c\sin\beta+c\cos\beta}=\frac{\sqrt2 c\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta+\cos\beta}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt2 c\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta+\cos\beta}\).