Вариант А2 1 В треугольнике АВС ∠A = = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треуголь- ник АВС - равнобедренный, и укажите его боковые сто- роны. б) Отрезок СК - биссектри- са данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

Решение:

1. \( \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).
2. Так как \( \angle B = \angle C = 40^{\circ} \), то треугольник АВС — равнобедренный с боковыми сторонами АВ и АС.
3. \( CK \) — биссектриса \( \angle C \), значит, \( \angle ACK = \angle BCK = \frac{\angle C}{2} = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} \).
4. Рассмотрим \( \triangle ACK \). Сумма углов треугольника равна 180°. \( \angle AKC = 180^{\circ} - (\angle A + \angle ACK) = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 20^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
5. Угол \( \angle BKC \) смежный с \( \angle AKC \), поэтому \( \angle BKC = 180^{\circ} - \angle AKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
6. Углы, которые биссектриса СК образует со стороной АВ, — это \( \angle AKC \) и \( \angle BKC \).

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный, боковые стороны АВ и АС. б) Углы равны 60° и 120°.