Вариант Б1 1 В треугольнике АВС высо- та BD делит угол В на два угла, причем ∠ABD = 40°, ∠CBD = 10°. а) Докажите, что треуголь- ник АВС равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треуголь- ника пересекаются в точке О. Найдите ДВОС.

Решение:

1. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 40^{\circ} + 10^{\circ} = 50^{\circ} \).
2. В \( \triangle ABD \): \( \angle BAD = 180^{\circ} - (\angle ABD + \angle ADB) \). Так как \( BD \) — высота, \( \angle ADB = 90^{\circ} \).
3. \( \angle BAD = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).
4. Так как \( \angle ABC = 50^{\circ} \) и \( \angle BAC = 50^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием ВС.
5. \( \angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
6. \( BD \) — высота, \( AC \) — сторона.
7. \( AO \) — биссектриса \( \angle BAC \) (в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и биссектрисой).
8. \( CO \) — биссектриса \( \angle ACB \).
9. \( \angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ} \).
10. \( \angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
11. В \( \triangle BOC \): \( \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \).

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный, основание ВС. б) \( \angle BOC = 115^{\circ} \).