Вариант Б1. 2) Отрезок AB пересекает плоскость α в точке C. Через A и B проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках A₁ и B₁. а) Докажите, что точки A₁, B₁ и C лежат на одной прямой. б) Найдите AB, если AA₁ = 9 см, BB₁ = 3 см, AC = 6 см.

а) Параллельные прямые, проведённые через A и B, задают плоскость, содержащую AB, AA₁ и BB₁. Эта плоскость пересекает α по прямой. Точки A₁ и B₁ принадлежат обеим плоскостям, как и C, поскольку C лежит на AB и в α. Поэтому A₁, B₁ и C лежат на одной прямой.

б) Поскольку C находится между A и B, расстояния от A и B до плоскости, измеренные вдоль параллельных прямых, относятся так же, как AC и CB: AC/CB = AA₁/BB₁ = 9/3 = 3. Значит, CB = AC/3 = 6/3 = 2 см, а AB = AC + CB = 6 + 2 = 8 см.

Ответ: а) точки A₁, B₁ и C коллинеарны; б) AB = 8 см.