Вариант Б2. 1) Точка A не лежит в плоскости треугольника BCD. Точки P, R, S и T — середины отрезков AB, AD, CD и BC соответственно. а) Докажите, что PRST — параллелограмм. б) Найдите AC, если BD = 6 см, а периметр PRST равен 14 см.

а) В треугольнике ABD отрезок PR соединяет середины AB и AD, поэтому PR ∥ BD и PR = BD/2.

В треугольнике BCD отрезок TS соединяет середины BC и CD, поэтому TS ∥ BD и TS = BD/2. Следовательно, PR ∥ ST и PR = ST.

В треугольнике ACD отрезок RS соединяет середины AD и CD, поэтому RS ∥ AC и RS = AC/2.

В треугольнике ABC отрезок TP соединяет середины BC и BA, поэтому TP ∥ AC и TP = AC/2. Значит, RS ∥ PT и RS = PT. Обе пары противоположных сторон PRST параллельны, поэтому PRST — параллелограмм.

б) Стороны параллелограмма равны BD/2 и AC/2. Поэтому его периметр равен 2(BD/2 + AC/2) = BD + AC. Тогда 14 = 6 + AC, откуда AC = 8 см.

Ответ: а) PRST — параллелограмм; б) AC = 8 см.