Вариант Б2. 2) Через точку A отрезка AB проведена плоскость α. Через точки B и C, лежащую на отрезке AB, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках B₁ и C₁. а) Докажите, что точки A, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. б) Найдите CB, если BB₁ = 12 см, CC₁ = 4 см, AC = 5 см.

а) Параллельные прямые через B и C вместе с прямой AB задают плоскость. Её пересечение с α — прямая, содержащая A, B₁ и C₁: точка A принадлежит обеим плоскостям, поскольку α проведена через A, а B₁ и C₁ — точки пересечения параллельных прямых с α. Следовательно, A, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

б) Расстояния от B и C до α, измеренные вдоль параллельных прямых, пропорциональны расстояниям AB и AC от точки A, лежащей в α. Поэтому AB/AC = BB₁/CC₁ = 12/4 = 3. Тогда AB = 3 · 5 = 15 см. Так как C лежит на отрезке AB, CB = AB − AC = 15 − 5 = 10 см.

Ответ: а) точки A, B₁ и C₁ коллинеарны; б) CB = 10 см.