Вариант Б1, Задание 2: К окружности с центром в точке О и радиусом 6 см из точки А проведены две касательные. Найдите угол между этими касательными, если OA = 4√3 см.

Решение:

Пусть АВ и АС — касательные к окружности, проведенные из точки А. Точки касания — В и С. Точка О — центр окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО (∠ABO = 90°, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

1. Находим синус угла ∠OAB:\[ \sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
2. Определяем угол ∠OAB: Из условия {\sin(\angle OAB) = \frac{\sqrt{3}}{2}} следует, что {\angle OAB = 60°}.
3. Находим угол ∠BAC: По свойству касательных, проведенных из одной точки, треугольники АВО и АСО равны. Отрезок АО является биссектрисой угла ∠BAC. Следовательно, {\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB}.
4. Вычисляем:\[ \angle BAC = 2 \cdot 60° = 120° \]

Ответ: 120°