Вариант Б2, Задание 3: Вершина А квадрата ABCD является центром окружности, радиус которой равен половине диагонали квадрата. Докажите, что прямая BD является касательной к этой окружности.

Доказательство:

Пусть окружность имеет центр в точке А, а ее радиус равен r. По условию, r = AC/2 (так как диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам).

Пусть О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. В квадрате диагонали:

• Равны: AC = BD.
• Пересекаются под прямым углом: AC ⊥ BD.
• Точкой пересечения делятся пополам: AO = OC = AC/2, и BO = OD = BD/2.

Поскольку AC = BD, то AO = AC/2 = BD/2, и BO = BD/2. Следовательно, AO = BO.

Расстояние от центра окружности (А) до точки О равно AO. Так как AO = AC/2, и радиус окружности r = AC/2, то AO = r. Это означает, что точка О лежит на окружности.

Диагональ BD проходит через точку О, которая находится на окружности. Кроме того, диагонали квадрата перпендикулярны друг другу (AC ⊥ BD).

Прямая, проходящая через точку на окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной к окружности.

В нашем случае, прямая BD проходит через точку О. Расстояние от центра А до точки О равно радиусу (AO = r). Диагональ BD перпендикулярна радиусу AO.

Следовательно, прямая BD является касательной к окружности с центром А и радиусом, равным половине диагонали квадрата.