Вариант Б2, Задание 1: Из точки А к окружности с центром в точке О проведена касательная. Найдите АО, если радиус окружности равен 12√2 см, а ∠OAB = 45°.

Решение:

Касательная АВ перпендикулярна радиусу OB в точке касания В. Следовательно, треугольник АВО является прямоугольным треугольником с прямым углом ∠ABO = 90°.

OB — это радиус окружности, равный 12√2 см.

1. Находим угол ∠AOB: Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поскольку ∠ABO = 90° и ∠OAB = 45°, то: {\angle AOB = 180° - 90° - 45° = 45°}
2. Определяем тип треугольника: Так как ∠OAB = ∠AOB = 45°, то треугольник АВО является равнобедренным. Следовательно, катеты OB и AB равны: {OB = AB = 12\sqrt{2} \text{ см}}.
3. Находим гипотенузу AO: Используем теорему Пифагора: {AO^2 = OB^2 + AB^2} {AO^2 = (12\sqrt{2})^2 + (12\sqrt{2})^2} {AO^2 = (144 \cdot 2) + (144 \cdot 2)} {AO^2 = 288 + 288} {AO^2 = 576} {AO = \sqrt{576}} {AO = 24 \text{ см}}

Ответ: 24 см