Вариант Б2, Задание 2: К окружности с центром в точке О и радиусом 5 см из точки А проведены две касательные АВ и АС (В и С — точки касания). Найдите ∠BAC, если AB = 5√3 см.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО (∠ABO = 90°, так как радиус OB перпендикулярен касательной АВ в точке касания).

OB = 5 см (радиус), AB = 5√3 см (касательная).

1. Находим тангенс угла ∠OAB:\[ \text{tg}(\angle OAB) = \frac{OB}{AB} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
2. Определяем угол ∠OAB: Из условия {\text{tg}(\angle OAB) = \frac{1}{\sqrt{3}}} следует, что {\angle OAB = 30°}.
3. Находим угол ∠BAC: Отрезок АО является биссектрисой угла ∠BAC, так как треугольники АВО и АСО равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, {\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB}.
4. Вычисляем:\[ \angle BAC = 2 \cdot 30° = 60° \]

Ответ: 60°