Вариант Б1, Задание 3: Вершина В ромба ABCD является центром окружности, радиус которой равен половине диагонали BD. Докажите, что прямая АС является касательной к этой окружности.

Доказательство:

Пусть окружность имеет центр в точке В, а ее радиус равен r. По условию, r = BD/2.

В ромбе ABCD диагонали:

• Пересекаются под прямым углом: AC ⊥ BD.
• Точкой пересечения делятся пополам: Пусть точка пересечения диагоналей — О. Тогда BO = OD = BD/2, и AO = OC = AC/2.

Поскольку точка пересечения диагоналей О является серединой диагонали BD, то расстояние от центра окружности (В) до точки О равно BO. А так как BO = BD/2, то BO является радиусом окружности (BO = r).

Диагональ АС проходит через точку О, которая находится на окружности (так как BO = r). Кроме того, диагональ АС перпендикулярна диагонали BD (AC ⊥ BD).

Линия, проходящая через точку на окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной к окружности.

В нашем случае, прямая АС проходит через точку О. Расстояние от центра В до точки О равно радиусу (BO = r). Диагональ АС перпендикулярна радиусу BO.

Следовательно, прямая АС является касательной к окружности с центром В и радиусом BD/2.