Вариант B2, 1. Три стороны трапеции равны между собой, а её диагональ равна одному из оснований. Найдите углы трапеции.

Пусть основания равнобокой трапеции равны \(L\) и \(s\), где \(L>s\), боковая сторона равна \(l\), а диагональ — \(d\). Из геометрии равнобокой трапеции \(d^2-l^2=Ls>0\), значит, диагональ длиннее боковой стороны. Поэтому три равные стороны — это боковые стороны и меньшее основание: \(l=s\), а диагональ равна большему основанию: \(d=L\).

Тогда \(L^2-s^2=Ls\), поэтому для \(r=L/s\) имеем \(r^2-r-1=0\) и \(r=(1+\sqrt5)/2\). Если \(\alpha\) — острый угол трапеции, то \(\cos\alpha=(L-s)/(2s)=(r-1)/2=\cos72^\circ\). Следовательно, острые углы равны \(72^\circ\), а смежные с ними — \(108^\circ\).

Ответ: углы трапеции — \(72^\circ, 108^\circ, 72^\circ, 108^\circ\).