Вариант Б2. 2. Сечение конуса, проведенное через его вершину, пересекает боковую поверхность по образующим, угол между которыми равен β, а основание — по хорде, стягивающей дугу α и удаленной от центра основания на расстояние d. Найдите площадь полной поверхности конуса.

1. Пусть \(r\) — радиус основания, \(l\) — образующая. Хорда удалена от центра на \(d\), а её концы стягивают центральный угол \(\alpha\), поэтому \(d=r\cos(\alpha/2)\). Следовательно, \(r=\frac{d}{\cos(\alpha/2)}\).
2. В осевом сечении, проходящем через выбранную хорду, длина хорды равна \(2r\sin(\alpha/2)\). Сечение через вершину — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(l\) и углом при вершине \(\beta\), поэтому длина его основания равна \(2l\sin(\beta/2)\).
3. Приравнивая основания, получаем \(l\sin(\beta/2)=r\sin(\alpha/2)\), то есть \(l=\frac{r\sin(\alpha/2)}{\sin(\beta/2)}\).
4. Площадь полной поверхности конуса: \(S=\pi r^2+\pi rl\). Подставим найденные выражения:

\[S=\frac{\pi d^2}{\cos^2(\alpha/2)}\left(1+\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\beta/2)}\right).\]

Ответ: \(\displaystyle S=\frac{\pi d^2}{\cos^2(\alpha/2)}\left(1+\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\beta/2)}\right)\).