Вариант В1. 1. Осевое сечение конуса можно вписать в окружность основания. Найдите площадь осевого сечения, если его наибольшая медиана равна \(4\sqrt5\) см.

Условие допускает стандартное геометрическое прочтение: осевое сечение — равнобедренный треугольник, вписанный в окружность основания. Его основание является диаметром окружности, а вершина конуса лежит на этой окружности. По теореме Фалеса угол при вершине осевого сечения прямой; значит, треугольник равнобедренный прямоугольный.

Обозначим равные боковые стороны через \(a\). Тогда основание равно \(a\sqrt2\). Медиана к основанию одновременно является высотой и равна \(a/\sqrt2\), а медианы к боковым сторонам равны \(a\sqrt{10}/4\). Следовательно, наибольшая медиана — медиана к основанию.

Из \(a/\sqrt2=4\sqrt5\) получаем \(a=4\sqrt{10}\). Площадь сечения равна \(\frac12a^2=80\) см².

Ответ: 80 см².