Вариант Б2. 4) На рисунке трапеция ABCD; AB = BC = CD, AC ⟂ CD. Найти углы трапеции.

По рисунку основания трапеции параллельны: \(AD\parallel BC\). Так как \(AC\perp CD\), треугольник ACD прямоугольный с прямым углом при C.

Равенство \(BC=CD\) и параллельность оснований дают равные боковые стороны трапеции: \(AB=CD\), поэтому трапеция равнобедренная. Более непосредственно, поскольку \(AB=BC=CD\), рассмотрим треугольник ABC: \(AB=BC\), а также \(AB=CD\). Для вычисления углов используем координатно-геометрическое соотношение: пусть \(BC=s\), а горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(x\). Из \(AB=CD=s\) и одинаковой высоты трапеции следует, что проекции боковых сторон равны; значит, \(AC\) образует с основанием угол, равный половине угла при A в равнобедренном треугольнике ABC.

Поскольку \(AC\perp CD\), а \(CD\) образует с основанием угол \(180°-\angle D\), получаем зависимость, которая вместе с равенствами сторон задаёт \(\angle A=\angle D\), \(\angle B=\angle C\). Условие \(AB=BC=CD\) приводит к прямоугольному равнобедренному треугольнику ACD: \(AD=\sqrt{2}\,CD\), тогда горизонтальная проекция боковой стороны равна \(AD-BC=(\sqrt{2}-1)s\). Следовательно, для боковой стороны \(AB=s\) её вертикальная составляющая равна \(s\sqrt{1-(\sqrt{2}-1)^2}\), и углы трапеции определяются, но не дают стандартных целых величин.

Из заданных равенств можно получить точные значения: \(\cos\angle D=(AD-BC)/CD=\sqrt{2}-1\), так что \(\angle D=\arccos(\sqrt{2}-1)\approx65.5°\), а \(\angle A=90°-\angle D\approx24.5°\). Тогда \(\angle B=180°-\angle A\) и \(\angle C=180°-\angle D\).

Ответ: \(\angle A\approx24.5°\), \(\angle B\approx155.5°\), \(\angle C\approx114.5°\), \(\angle D\approx65.5°\).