Вариант I. 1. На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A₁ так, что DA₁ = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку A₁ и пересекает сторону CD в точке C₁. а) Докажите, что △C₁DA₁ ∼ △ABC. б) Найдите AC, если BC = 10 см, A₁C₁ = 6 см.

а) Поскольку плоскость через A₁ параллельна AC, линия её пересечения с плоскостью параллелограмма, A₁C₁, параллельна AC. В параллелограмме CD ∥ AB и DA ∥ BC. Поэтому ∠C₁DA₁ = ∠ABC, а ∠DC₁A₁ = ∠BAC. По двум углам △C₁DA₁ ∼ △ABC.

Соответствие вершин: C₁ ↔ A, D ↔ B, A₁ ↔ C.

б) Из подобия A₁C₁/AC = DA₁/BC. Подставим данные: 6/AC = 4/10. Отсюда AC = 6 · 10/4 = 15 см.

Ответ: AC = 15 см.