Вариант II. 1. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка C₁ так, что C₁B = 3 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку C₁ и пересекает сторону AB в точке A₁. а) Докажите, что △ADC ∼ △C₁BA₁. б) Найдите AD, если A₁C₁ = 4 см, AC = 12 см.

а) Так как плоскость через C₁ параллельна AC, её линия пересечения с плоскостью параллелограмма, C₁A₁, параллельна AC. В параллелограмме AD ∥ BC и DC ∥ AB, поэтому AD ∥ C₁B и DC ∥ BA₁. Следовательно, соответствующие углы треугольников ADC и C₁BA₁ равны, и △ADC ∼ △C₁BA₁.

Соответствие вершин: A ↔ C₁, D ↔ B, C ↔ A₁.

б) По подобию AD/C₁B = AC/C₁A₁. Тогда AD/3 = 12/4 = 3, откуда AD = 9 см.

Ответ: AD = 9 см.