Вариант II. 1. Точка D лежит на отрезке AB, причём BD : BA = 1 : 4. Через точку A проведена плоскость α, через точку D — отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁ пересекает плоскость α в точке C. а) Докажите подобие △BDD₁ и △ABC. б) Найдите DD₁, если AC = 12 см.

а) Точки B, D, A лежат на одной прямой, а точки B, D₁, C — на другой. Плоскость треугольника BDD₁ пересекает плоскость α по прямой AC, поскольку A и C принадлежат обеим плоскостям.

Так как DD₁ параллелен плоскости α, то DD₁ параллелен линии пересечения этих плоскостей AC. Поэтому ∠BDD₁ = ∠ABC и ∠BD₁D = ∠BCA. Следовательно, △BDD₁ ∼ △BAC, то есть △BDD₁ и △ABC подобны.

б) Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен BD/BA = 1/4. Соответствующие стороны DD₁ и AC относятся так же:

DD₁/AC = 1/4, поэтому DD₁ = 12 · 1/4 = 3 см.

Ответ: DD₁ = 3 см.