Вариант I. 4*. В треугольнике ABC AB = BC, ∠CAB = 30°, AE — биссектриса, BE = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Так как \(AB=BC\), углы, лежащие напротив этих равных сторон, равны: \(\angle A=\angle C=30^\circ\). Следовательно, \(\angle B=120^\circ\).

По теореме о биссектрисе \(\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AB}{AC}\). Обозначим \(AB=BC=x\), \(AC=y\). Из теоремы синусов \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin120^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt3\), значит \(\dfrac{BE}{EC}=\dfrac1{\sqrt3}\). При \(BE=8\) получаем \(EC=8\sqrt3\).

Тогда \(AC=BE+EC=8+8\sqrt3\). Ещё раз применим теорему синусов: \(\dfrac{x}{\sin30^\circ}=\dfrac{AC}{\sin120^\circ}\), откуда \(x=\dfrac{AC}{\sqrt3}=8+\dfrac{8\sqrt3}{3}\).

Площадь равна \(S=\dfrac12 AB\cdot BC\sin120^\circ=\dfrac{x^2\sqrt3}{4}\). Подстановка даёт \(S=32+\dfrac{80\sqrt3}{3}\) см².

Ответ: \(32+\dfrac{80\sqrt3}{3}\) см².