Вариант II. 4*. В ромбе ABCD AK — биссектриса угла CAB; ∠BAD = 60°, BK = 12 см. Найдите площадь ромба.

В ромбе диагональ AC биссектрисa угла A, поэтому \(\angle CAB=30^\circ\). В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а угол между ними равен \(\angle ABC=120^\circ\). Следовательно, \(\angle ACB=30^\circ\), и \(AB=BC=AC\).

Биссектриса AK в треугольнике ABC делит сторону BC в отношении прилежащих сторон: \(\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{AB}{AC}=1\). Значит, \(BK=KC=12\) см и \(BC=24\) см. Все стороны ромба равны 24 см.

Площадь ромба: \(S=AB\cdot AD\sin\angle BAD=24^2\sin60^\circ=288\sqrt3\) см².

Ответ: \(288\sqrt3\) см².