Вариант I. Задача 2. В правильной треугольной призме сторона основания равна 3 см, а диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60°. Площадь боковой поверхности призмы равна...

Пусть дана правильная треугольная призма (ABCA_1B_1C_1). Сторона основания (AB = BC = AC = 3) см. Угол между диагональю боковой грани, например, (A_1B), и плоскостью основания равен 60°. Это означает, что угол (ABA_1 = 60°). Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABA_1). Тангенс угла (ABA_1) равен отношению противолежащего катета (AA_1) (бокового ребра) к прилежащему катету (AB) (стороне основания): \[\tan(60°) = \frac{AA_1}{AB}\] \[AA_1 = AB \cdot \tan(60°) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\] Боковое ребро (AA_1 = 3\sqrt{3}) см. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей трех боковых граней. Так как призма правильная, все боковые грани - равные прямоугольники. Площадь одной боковой грани равна: \[S_{бок.грани} = AB \cdot AA_1 = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\] Площадь боковой поверхности призмы равна: \[S_{бок} = 3 \cdot S_{бок.грани} = 3 \cdot 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3}\] Площадь боковой поверхности призмы равна (27\sqrt{3}) см².