Вариант III, задача 2: Даны координаты вершин треугольника MPT: M(-4; 3), P(2; 7), T(8; -2). Докажите, что данный треугольник прямоугольный, и найдите радиус описанной около него окружности.

Решение: 1. Найдем длины сторон треугольника MPT: $$MP = \sqrt{(2-(-4))^2 + (7-3)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$$ $$PT = \sqrt{(8-2)^2 + (-2-7)^2} = \sqrt{6^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}$$ $$MT = \sqrt{(8-(-4))^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ 2. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $$MP^2 + PT^2 = 52 + 117 = 169$$ $$MT^2 = 13^2 = 169$$ Так как $$MP^2 + PT^2 = MT^2$$, то треугольник MPT прямоугольный с прямым углом при вершине P. 3. Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $$R = \frac{MT}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$$ Ответ: Треугольник MPT прямоугольный, радиус описанной окружности равен 6.5.