Вариант IV, задача 2: Даны координаты трех вершин параллелограмма KLMN: K(-4; 2), L(0; 5), M(12; 0). Найдите координаты четвертой вершины и периметр данного параллелограмма.

Решение: 1. Найдем координаты четвертой вершины N. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Возможны три случая для расположения вершин (KLMN, KLNM, KMNL). Чаще всего подразумевается последовательность KLMN. Тогда $$\vec{KL} = \vec{NM}$$. $$\vec{KL} = \{0-(-4), 5-2\} = \{4, 3\}$$. Пусть N(x, y). Тогда $$\vec{NM} = \{12-x, 0-y\} = \{12-x, -y\}$$. Тогда 12 - x = 4 и -y = 3. Отсюда x = 8, y = -3. N(8, -3). 2. Найдем длины сторон KL и LM: $$KL = \sqrt{(0-(-4))^2 + (5-2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ $$LM = \sqrt{(12-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ 3. Найдем периметр параллелограмма: $$P = 2(KL + LM) = 2(5 + 13) = 2(18) = 36$$ Ответ: Координаты четвертой вершины N(8; -3), периметр параллелограмма равен 36.