Вариант III, Задача 2: В треугольнике MNK ∠K = 37°, ∠M = 69°, NP – биссектриса треугольника. Докажите, что MP < PK.

Краткое пояснение:

Пошаговое доказательство:

1. Найдем угол ∠N в треугольнике MNK:
2. ∠N = 180° - ∠K - ∠M = 180° - 37° - 69° = 180° - 106° = 74°.
3. NP является биссектрисой треугольника MNK, значит, она делит угол ∠N пополам.
4. ∠MNP = ∠KNP = ∠N / 2 = 74° / 2 = 37°.
5. Рассмотрим треугольник P MK. Углы этого треугольника: ∠M = 69°, ∠MKP = 37° (из условия, ∠K = 37°), ∠MPK = 180° - 69° - 37° = 180° - 106° = 74°.
6. Рассмотрим треугольник PNK. Углы этого треугольника: ∠PNK = 37°, ∠NKP = 37°, ∠NPK = 180° - 37° - 37° = 180° - 74° = 106°.
7. В треугольнике PNK, так как ∠PNK = ∠NKP, треугольник PNK является равнобедренным. Следовательно, сторона, противолежащая ∠PNK (то есть PK), равна стороне, противолежащей ∠NKP (то есть PN). PK = PN.
8. Теперь сравним стороны MP и PK в треугольнике PMK.
9. В треугольнике PMK:
10. Сторона MP противолежит углу ∠MKP = 37°.
11. Сторона PK противолежит углу ∠KMP = 69°.
12. Так как ∠KMP (69°) > ∠MKP (37°), то сторона, противолежащая ∠KMP (то есть PK), больше стороны, противолежащей ∠MKP (то есть MP).
13. Следовательно, PK > MP, или MP < PK.

Доказано: MP < PK