Вариант В2. 1. Три стороны трапеции равны между собой, а ее диагональ равна одному из оснований. Найдите углы трапеции.

Пусть L — большее основание, b — меньшее основание, а t — боковая сторона. Три равные стороны должны включать обе боковые стороны и одно основание: основания трапеции не равны, поэтому обе боковые стороны равны, и трапеция равнобедренная.

1. Если x — горизонтальное смещение боковой стороны, а h — высота, то \(t^2=x^2+h^2\). Диагональ d имеет горизонтальную проекцию \((L+b)/2\), поэтому \(d^2-t^2=Lb\), то есть \(d^2=Lb+t^2\).
2. Диагональ не может равняться меньшему основанию b, поскольку \(d^2=Lb+t^2>b^2\). Если d=L, то равным основанием среди трёх сторон может быть только b, то есть \(t=b\); случай \(t=L\) потребовал бы b=0.
3. Подставляем d=L и t=b: \(L^2=Lb+b^2\). Значит, для отношения \(r=L/b\) получаем \(r^2-r-1=0\), откуда \(r=(1+\sqrt{5})/2\).
4. Острый угол α при большем основании удовлетворяет \(\cos\alpha=\frac{x}{b}=\frac{L-b}{2b}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\cos72°\). Следовательно, α = 72°, а смежный с ним угол равен 108°.

Ответ: углы трапеции — 72° и 108°.