634. Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?

Пусть v - первоначальная скорость велосипедиста. Расстояние от посёлка до станции: s Время, затраченное на путь до станции: \frac{s}{v} Скорость на обратном пути: v + 5 Время, затраченное на обратный путь: \frac{s}{v+5} Общее расстояние: 2s Общее время: \frac{s}{v} + \frac{s}{v+5} Средняя скорость: \frac{2s}{\frac{s}{v} + \frac{s}{v+5}} = 12 \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{v+5}} = 12 \frac{2}{\frac{v+5+v}{v(v+5)}} = 12 \frac{2v(v+5)}{2v+5} = 12 2v(v+5) = 12(2v+5) 2v^2 + 10v = 24v + 60 2v^2 - 14v - 60 = 0 v^2 - 7v - 30 = 0 \begin{align*} D &= (-7)^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169 \\ v_1 &= \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \\ v_2 &= \frac{7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \end{align*} Так как скорость не может быть отрицательной, v = 10. Ответ: 10 км/ч.