5. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как \(3:4:11\). Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Пусть длины дуг равны \(3x, 4x, 11x\). Полная длина окружности равна \(3x + 4x + 11x = 18x\). Углы, опирающиеся на эти дуги, пропорциональны длинам дуг. Полная окружность содержит \(360^\circ\), поэтому углы треугольника, опирающиеся на эти дуги, пропорциональны \(3:4:11\). Пусть углы равны \(3y, 4y, 11y\). Тогда \(3y + 4y + 11y = 180^\circ\), следовательно, \(18y = 180^\circ\), и \(y = 10^\circ\). Тогда углы треугольника равны \(30^\circ, 40^\circ, 110^\circ\). Меньшая сторона лежит напротив меньшего угла, то есть угла \(30^\circ\). Обозначим стороны треугольника как \(a, b, c\), где \(a = 14\) – меньшая сторона. Пусть \(R\) – радиус описанной окружности. По теореме синусов: \[\frac{a}{\sin A} = 2R\] \[\frac{14}{\sin 30^\circ} = 2R\] Так как \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), то \[\frac{14}{\frac{1}{2}} = 2R\] \[28 = 2R\] \[R = 14\] Ответ: Радиус окружности равен 14.