6. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Решение:

1. Пусть длины дуг равны $$3x, 4x, 11x$$. Сумма этих дуг составляет полную окружность, то есть $$360^\circ$$. Следовательно, $$3x + 4x + 11x = 360^\circ$$.
2. $$18x = 360^\circ$$, $$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$$.
3. Длины дуг: $$60^\circ, 80^\circ, 220^\circ$$.
4. Углы треугольника, вписанные в окружность, опираются на эти дуги и равны половине дуги, на которую они опираются. Тогда углы треугольника: $$\frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$$, $$\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$, $$\frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$$.
5. Пусть меньшая сторона лежит против меньшего угла, который равен 30°. Применим теорему синусов: $$\frac{a}{\sin A} = 2R$$, где $$a$$ - сторона, $$A$$ - угол, противолежащий этой стороне, $$R$$ - радиус окружности.
6. $$\frac{14}{\sin 30^\circ} = 2R$$, $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$.
7. $$\frac{14}{\frac{1}{2}} = 2R$$, $$28 = 2R$$, $$R = 14$$.

Ответ: 14