Все из 25 человек случайным образом разбивают на 5 групп по 5 человек для выполнения лабораторной работы по физике. Какова вероятность того, того, что Даниил и Александр окажутся в одной группе?

Решение:

1. Найдем общее число способов разбить 25 человек на 5 групп по 5 человек. Это можно сделать с помощью сочетаний:

\( N = \frac{C_{25}^{5} \times C_{20}^{5} \times C_{15}^{5} \times C_{10}^{5} \times C_{5}^{5}}{5!} \)

где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

2. Теперь найдем число способов, при которых Даниил и Александр окажутся в одной группе.

Предположим, Даниил и Александр находятся в одной группе. Это значит, что нам нужно выбрать еще 3 человека из оставшихся 23 человек, чтобы они составили эту группу вместе с Даниилом и Александром. Число способов выбрать эту группу: \( C_{23}^{3} \).

Оставшихся \( 25 - 5 = 20 \) человек нужно разбить на 4 группы по 5 человек. Число способов сделать это:

\( \frac{C_{20}^{5} \times C_{15}^{5} \times C_{10}^{5} \times C_{5}^{5}}{4!} \).

3. Вероятность того, что Даниил и Александр окажутся в одной группе:

\( P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} \)

\( P = \frac{C_{23}^{3} \times \frac{C_{20}^{5} \times C_{15}^{5} \times C_{10}^{5} \times C_{5}^{5}}{4!}}{\frac{C_{25}^{5} \times C_{20}^{5} \times C_{15}^{5} \times C_{10}^{5} \times C_{5}^{5}}{5!}} \)

Сокращаем одинаковые множители:

\( P = \frac{C_{23}^{3} \times \frac{1}{4!}}{\frac{C_{25}^{5}}{5!}} = \frac{C_{23}^{3} \times 5!}{C_{25}^{5} \times 4!} = \frac{C_{23}^{3} \times 5}{C_{25}^{5}} \)

Рассчитаем сочетания:

\( C_{23}^{3} = \frac{23!}{3!(23-3)!} = \frac{23!}{3!20!} = \frac{23 \times 22 \times 21}{3 \times 2 \times 1} = 23 \times 11 \times 7 = 1771 \).

\( C_{25}^{5} = \frac{25!}{5!(25-5)!} = \frac{25!}{5!20!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 6 \times 23 \times 11 \times 7 = 53130 \).

Теперь подставляем значения в формулу вероятности:

\( P = \frac{1771 \times 5}{53130} = \frac{8855}{53130} \).

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

\( P = \frac{1771}{10626} \).

Проверим, можно ли сократить дальше. Оба числа делятся на 7:

\( 1771 / 7 = 253 \)

\( 10626 / 7 = 1518 \)

\( P = \frac{253}{1518} \).

Число 253 делится на 11 и 23. Число 1518 делится на 2, 3, 11, 23. Делим на 11:

\( 253 / 11 = 23 \)

\( 1518 / 11 = 138 \)

\( P = \frac{23}{138} \).

Число 138 делится на 23:

\( 138 / 23 = 6 \).

\( P = \frac{23}{138} = \frac{1}{6} \).

Альтернативный, более простой способ:

Рассмотрим положение Даниила. Он находится в какой-то группе. Всего в группе 5 мест. Одно место занято Даниилом. Осталось 4 свободных места в этой группе.

Общее количество человек, кроме Даниила, равно 24.

Вероятность того, что Александр попадет в одну группу с Даниилом, равна отношению числа свободных мест в группе Даниила к общему числу оставшихся человек:

\( P = \frac{\text{Свободные места в группе Даниила}}{\text{Осталось человек}} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \).

Ответ: Вероятность того, что Даниил и Александр окажутся в одной группе, равна \( \frac{1}{6} \).