Вычислить: 8) \(50\sin 2x\), если \(\cos x = -\frac{3}{5}\) и \(-\pi < x < 0\)

Используем формулу двойного угла: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\). Тогда: \(50\sin 2x = 50(2\sin x \cos x) = 100\sin x \cos x\). Нам известно \(\cos x = -\frac{3}{5}\). Найдем \(\sin x\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\). \(\sin x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}\). Так как \(-\pi < x < 0\), то \(x\) находится в III или IV четверти. В этих четвертях синус отрицателен, значит, \(\sin x = -\frac{4}{5}\). Подставим найденные значения в выражение: \(100\sin x \cos x = 100 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 100 \cdot \frac{12}{25} = 4 \cdot 12 = 48\). Ответ: 48