19. Вычислите \(\left(\sqrt{2\frac{2}{3}} - \sqrt{16\frac{2}{3}}\right) : \sqrt{\frac{2}{27}}\)

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$$ и $$16\frac{2}{3} = \frac{16 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{50}{3}$$.

2. Подставим в исходное выражение: $$\left(\sqrt{2\frac{2}{3}} - \sqrt{16\frac{2}{3}}\right) : \sqrt{\frac{2}{27}} = \left(\sqrt{\frac{8}{3}} - \sqrt{\frac{50}{3}}\right) : \sqrt{\frac{2}{27}}$$.

3. Преобразуем выражение в скобках: $$\sqrt{\frac{8}{3}} - \sqrt{\frac{50}{3}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 2}{3}} - \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}} - 5\sqrt{\frac{2}{3}} = -3\sqrt{\frac{2}{3}}$$.

4. Подставим полученное значение: $$-3\sqrt{\frac{2}{3}} : \sqrt{\frac{2}{27}} = -3 \sqrt{\frac{2}{3} : \frac{2}{27}} = -3 \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{27}{2}} = -3 \sqrt{9} = -3 \cdot 3 = -9$$.

Ответ: -9