Вычислите: \( \frac{2^{54} + 3 \cdot 2^{55} - 3 \cdot 2^{53}}{(4^{13})^2 \cdot 33} \)

Решение:

Преобразуем числитель дроби:

\( 2^{54} + 3 \cdot 2^{55} - 3 \cdot 2^{53} = 2^{53} (2^1 + 3 \cdot 2^2 - 3) = 2^{53} (2 + 3 \cdot 4 - 3) = 2^{53} (2 + 12 - 3) = 2^{53} (11) \).

Преобразуем знаменатель дроби:

\( (4^{13})^2 \cdot 33 = ( (2^2)^{13} )^2 \cdot 33 = (2^{26})^2 \cdot 33 = 2^{52} \cdot 33 \).

Теперь вычислим значение всей дроби:

\( \frac{2^{53} \cdot 11}{2^{52} \cdot 33} = \frac{2^{53}}{2^{52}} \cdot \frac{11}{33} = 2^{53-52} \cdot \frac{1}{3} = 2^1 \cdot \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

Ответ: \( \frac{2}{3} \).